Analysis of the game of Hex

I found a new way to solve the game of Hex on tables of even side without the pie rule. On tables of odd side it is known since the beginning of the 50s a simple winning strategy consisting in occupying the centre (that is forbidden), described in Martin Gardner’s article on Scientific American of July 1957.

The strategy is the following:

considering a table of Hex with side of 10 boxes with the main diagonal put in horizontal in which the superior left border is blue and the superior right is red. The boxes which are adjacent to the superior blue border are indicated with the numbers from one to ten from the bottom to the top and those which are adjacent to the inferior red border with the letters from a to j from the top to the bottom.

In Hex to defend means to attack: the game cannot finish equal, forbidding the opponent to create a winning chain means to create one for your own.

Red plays in one of the two central boxes placed on the minor diagonal.

Blue plays where he wants. Red answers, in order of priority, in a box:

- marked with the same number if Blue has just completed a chain of 2 boxes on same number itself. Red plays in the box closest to one of the two central letters and at equality of conditions choice is irrelevant;

- adjacent to one in which Blue has just played and with another blue box, when it is the only box to connect them (if there are several options Red blocks the chain of maximum length and if there are more than one with the same characteristics Red plays in the box nearer to one of the two central letters and of minimum number);

- adjacent to and connected with the red border, if Blue has played on the border with the red border and with a red box marked with the numbers 2 or 9 already existing. In this way Red makes the connection to the red border that is threatened;

- in the right bottom adjacent box if Blue has played to the left of the lower diagonal and over the box occupied by Red as first. If Blue has played to the right of the lower diagonal and over the box occupied by Red as first this one plays in the high left adjacent box. If Blue has played to the left of the lower diagonal and under the box occupied by Red as first this one plays in the high left adjacent box. If Blue has played to the right of the lower diagonal and under the box occupied by Red as first this one plays in the high left adjacent box. If a blue chain starts to the left of the lower diagonal and it passes through it Red continues to embank it in the same way. Also in this case for a symmetric thinking if a blue chain starts to the right of the lower diagonal and it passes through it Red continues to embank it in the same way. If Blue has played on a box marked by the same letter of that or those in which he played before Red continues to answer in the same way;

- if the answer chain is occupied Red lengthens his chain of maximum length and which has more boxes nearer to the box in which he made his first move. If two or more chains has the same characteristics Red plays in the chain of maximum number and first in alphabetical order;

- in the only box also adjacent to two red boxes, when the connection between the two red boxes is threatened and it only takes a move to realize it.

It is possible to generalise this strategy for tables on the side with a number of box bigger than 8 (the ones to be solved).

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Massimo Dacasto

E-mail: angelodacasto@virgilio.it.

Analisi del gioco dell’Hex

Ho trovato un nuovo approccio per risolvere il gioco dell’Hex su tavolieri di lato pari senza regola della torta. Su tavolieri di lato dispari è conosciuta sin dagli anni ’50 una semplice strategia vincente per il primo giocatore consistente nell’occupare il centro (che è vietato), descritta nell’articolo di Martin Gardner su Scientific American del luglio 1957 e raccolta in un libro del 1959 che fu tradotto in italiano con il titolo Enigmi e giochi matematici 1 (Sansoni).

La strategia è la seguente:

si consideri un tavoliere di Hex con lato di 10 caselle con la diagonale maggiore disposta in orizzontale in cui il bordo superiore sinistro è blu e quello superiore destro rosso. Le caselle che confinano con il bordo superiore blu siano indicate con numeri dall’uno al dieci dal basso verso l’alto e quelle che confinano con il bordo inferiore rosso con lettere dalla a alla j dall’alto verso il basso.

Nell’Hex difendersi equivale ad attaccare: in un gioco che non può finire in parità impedire all’avversario di creare una catena vincente equivale a crearne una propria.

Il Rosso gioca in una delle due caselle centrali situate sulla diagonale minore.

Il Blu gioca dove lo ritiene opportuno. Il Rosso risponde, in ordine di priorità, in una casella:

- contrassegnata dallo stesso numero se il Blu ha appena completato una catena di 2 caselle sul numero stesso. Il Rosso gioca nella casella più vicina a una delle due lettere centrali e a parità di condizioni la scelta è indifferente;

- confinante con quella in cui il Blu ha appena giocato e con un’altra casella blu, quando è unica la casella per connetterle (se ci sono varie opzioni il Rosso blocca la catena di lunghezza potenzialmente massima e se ne esistono più di una con gli stessi requisiti il Rosso gioca nella casella più vicina a una delle due lettere centrali e di numero minimo);

- confinante e connessa con il bordo rosso, se il Blu ha giocato a confine con il bordo rosso stesso e con una casella rossa contrassegnata dal numero 2 o 9 già esistente. In questo modo il Rosso attua la connessione al bordo rosso che viene minacciata;

- confinante in basso a destra se il Blu ha giocato a sinistra della diagonale minore e sopra alla casella occupata alla prima mossa dal Rosso. Se il Blu ha giocato a destra della diagonale minore e sopra alla casella occupata alla prima mossa dal Rosso quest'ultimo risponde nella casella in basso a destra. Se il Blu ha giocato a sinistra della diagonale minore e sotto alla casella occupata alla prima mossa dal Rosso quest'ultimo risponde nella casella confinante in alto a sinistra. Se il Blu ha giocato a destra della diagonale minore e sotto alla casella occupata alla prima mossa dal Rosso quest'ultimo risponde in alto a sinistra. Se una catena blu inizia a sinistra della diagonale minore e ci passa il Rosso continua ad arginarla nello stesso modo. Anche in questo caso per un ragionamento simmetrico se una catena blu inizia a destra della diagonale minore e ci passa il Rosso continua ad arginarla nello stesso modo. Se una catena blu inizia sopra alla casella in cui ha giocato il Rosso per primo e vi prosegue a destra il Rosso continua ad arginarla nello stesso modo. Anche in questo caso per un ragionamento simmetrico se una catena blu inizia sotto alla casella in cui ha giocato il Rosso per primo e vi prosegue a sinistra il Rosso continua ad arginarla nello stesso modo. Se il Blu ha giocato in una casella contrassegnata dalla stessa lettera di quella o quelle in cui ha giocato prima il Rosso continua a rispondere nello stesso modo;

- se la casella di risposta è occupata il Rosso allunga la sua catena di lunghezza massima e che ha più caselle vicine alla casella in cui ha effettuato la prima mossa. Se due o più catene hanno gli stessi requisiti il Rosso gioca nella casella di numero massimo e prima in ordine alfabetico;

- nell’unica casella confinante anche con due caselle rosse, quando viene minacciata la connessione tra le due caselle rosse stesse e manca una mossa per attuarla.

È possibile generalizzare questa strategia per tavolieri di lato con un numero di caselle pari e maggiore di 8 (quelli da risolvere).

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Massimo Dacasto

E-mail: angelodacasto@virgilio.it.